布尔代数法律和定理

布尔代数是数字电子学中用于数字逻辑的一种数学代数形式。亚博最新官网网址Albebra由一个命题(一般是数学命题)的符号表示组成。类似地,在布尔代数中也有表达式、方程和函数。

任何逻辑设计的主要目的都是尽可能地简化逻辑,从而使最终实现变得容易。为了简化逻辑,必须简化表示逻辑的布尔方程和表达式。

因此,为了简化布尔方程和表达式,提出了一些定律和定理。使用这些定律和定理,可以很容易地简化或减少任何布尔表达式或函数的逻辑复杂性。

本文演示了布尔代数中一些最常用的定律和定理。

基本法律和证据

布尔代数系统的基本规则和法律称为“布尔代数法则”。布尔代数的一些基本法律(规则)是

一世。联想法

2分配律

III。换向法律

IV。吸收法

v。共识法

联想法

副总法

陈述:

添加的联合法则,或者超过两个变量,即在变量上执行的数学加法操作,无论在等式中是否分组变量都会返回相同的值。
它涉及在组中交换变量。

联合法使用或运营商可以写成

a +(b + c)=(a + b)+ c

证明:

如果A、B、C是三个变量,那么每组2个变量的3个变量分组为(A + B)、(B + C)、(C + A) 3种类型。

据联想法

(a + b + c)=(a + b)+ c = a +(b + c)= b +(c + a)

我们知道,A + AB = A(根据吸收法)

现在让我们假设,x = a +(b + c)和y =(a + b)+ c

根据联想法,我们需要证明X = y。

现在求Ax = A [A + (B + C)]

= AA + A(B + C)

= a + ab + ac→由于aa = a

=(A + AB)+ AC

= a + ac→由于a + ab = a

= A→since A + AC = A

因此斧头= a

类似地,对于Bx = B [A +(B + C)]

= ab + b(b + c)

= ab + bb + BC

= ab + b + bc→由于bb = b

= (b + bc) + ab

= B + AB→由于B + BC = B.

= B→由于B + AB = B

使用上述方程式,我们可以说,当乘以x的其他变量乘以诸如xy = yx = x = y时,A,B,C和+运算符之间的关系不会改变。

YX =((a + b)+ c)x

=(a + b)x + cx

= (Ax + Bx) + Cx

=(a + b)+ c

= y y = (A + (B + C)) y

= ay +(b + c)y

= ay +(+ cy)

= a + (b + c)

= X.

所以x = y,意为a +(b + c)=(a + b)+ c = b +(a + c)

例子

取三个变量0 1 0,然后

根据联想法,

(0 + 1)+ 0 = 0 +(1 + 0)

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

从而验证了结合律。

由此证明了结合律(A + B +C) = (A + B) +C = A + (B +C) = B + (C + A)

乘法综合法

陈述:

乘法的关联定律指定,并且涉及两个以上的变量即,在变量上执行的数学乘法操作将返回相同的值,而不管等式中的变量分组。

联合法使用和运营商可以写成

a *(b * c)=(a * b)* c

分配律

这是布尔代数中最常用和最重要的法律,涉及2个运营商:或。

声明1:

两个变量的乘法和用变量添加结果将导致相同的值作为与单个变量的添加变量的乘法相同。

换句话说,和两个变量和与另一变量的结果等于和与两个单独变量的变量等于的。

分配律可以写成

A + BC =(A + B)(A + C)

这被称为或分发。

证明:

如果A B C是三个变量

a + bc = a * 1 + bc→由于a * 1 = a

= a(1 + b)+ bc→自1 + b = 1

= a * 1 + ab + bc

= A* (1 + C) + AB + BC→since A*A = A*1 = A

= a *(a + c) + b (a + c)

= (a + c) (a + b)

A + b = (A + b) (A + c)

因此,证明了分配法。

声明2:

两个变量相加并将结果与一个变量相乘得到的结果与该变量与单个变量相乘得到的结果相同。

也就是说,两个变量与另一个变量的OR等于该变量与两个单独变量的and的OR。

分配律可以写成

(b + c)=(a b)+(a c)

这被调用并分销超过或。

证明:

A (B + C) = A (B*1) + A (C*1)→since 1 * B = B, 1 * C = C

= [(ab)*(a *1)] + [(ac)*(a *1)]

= [(ab)* a] + [(ac)* a]

= (a +1) (ab + ac)

= (AB +AC)→since 1 +A = 1

因此,证明了分配法。

例子:

取三个变量0 1 0,然后

根据分配律,

0(1 + 0)=(0 * 1)+(0 * 0)

0 (1) = (0) + (0)

0 = 0

因此,验证了分配法。

换向法律

陈述:

交换律是指布尔方程中操作数顺序的互换不会改变其结果。

  • 使用或运算符→a + b = b + a
  • 使用和操作员→a * b = b * a

本法也在布尔代数中更优先。

例子:

拿2个变量1和0,然后

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

相似地,

1 * 0 = 0 * 1

0 = 0

吸收法

吸收定律涉及到一对二元运算的连接。

i. A+AB = A

2一个(A + B) =

III。a +Âb= a + b

IV。A.(āb)= ab

第三和第四定律也被称为冗余定律。

声明1:A + AB = a

证明:

a + ab = a.1 + ab→由于a.1 = a

= a(1 + b)→自1 + b = 1

= A.1

= A.

表述二:A (A + B) = A

证明:

A (A + b) = A + A + A

= A+AB→since A。一个=

= a(1 + b)

= A.1

= A.

声明3:a +Âb= a + b

证明:

A+ ĀB = (A+ Ā) (A+B)→since A+BC = (A+B)(A+C

= 1 * (A + B)→since A + Ā = 1

= A + B

表述4:A * (Ā+B) = AB

证明:a *(ā+ b)= a。ā+ ab

= ab→因为Â= 0

布尔代数对偶原理

陈述:

二元原理指出,“表达式可以通过用oroperator替换和运算符来替换二进制变量来实现,例如用0替换1并用1更换0。
本法解释说,替换变量不会更改布尔函数的值。

但是在互换变量的名称时,我们也必须更改二进制运算符。“如果操作符和等式或函数的变量在等式的输出中产生没有变化,但它们被互换称为”双重“。

对偶原理也被称为“德摩根对偶”,即“交换布尔代数中的对偶对将产生相同的等式输出”。

桌子

在对偶性中有一种特殊类型的操作,那就是“自我对偶”。一个自双操作处理输入到输出,而不做任何更改。所以这也叫做“不做操作”。

例子:

如果我们有像+ B = 0这样的布尔方程,那么替换变量0的方程式与1替换为1并替换或运算符和运算符为a * b = 1.这意味着布尔函数都表示逻辑的操作电路。

根据二元性原理,如果A,B是两个变量,则在相同的逻辑电路的情况下,等式A + B = 0和A * B = 1是真的。

使用对偶性简化布尔函数

使用二元概念简化布尔函数的示例

(a + b ' c) ' = a ' b ' c + a ' b ' c + a ' b ' c

='b(c + c')+(b + b')a'c'

= A'B + A'C' - - - - - - - >(1)

两边取倒数,方程就变成

(a + b ' c) = (a + b ') (a + c)–––––––-> (2)

如果我们观察等式1和2,我们可以观察到和操作者和或运营商互换。因此证明了二元定理。

根据对偶原理,采用最大项(SOP)法和平均项(POS)法对布尔函数进行简化。

SOP方法是指,总和产品。该方法将布尔变量的最大项写成它们的乘积和。

POS法意味着,和的乘积。该方法将布尔变量的最小项写成它们和的乘积。

在我们的进一步教程中,我们将简要讨论这些主题。亚博手机网

de Morgan的定理

布尔代数涉及二进制添加,二进制减法,二进制划分和二进制数的二进制乘法。类似于这些基本法律,还有另一个重要的定理,其中布尔代数系统主要取决于。那是摩根的法律。

这也可以被称为de Morgan的定理。本法根据二元性的概念作用。二元性意味着在函数中互换运营商和变量,例如用0和操作符和运营商和操作员使用1和1的替换0,以及运算符和运算符。

de Morgan的法律就像延伸了二元原则。De Morgan提出了2个定理,这将有助于我们解决数字电子产品中的代数问题。亚博最新官网网址

德·摩根的陈述是,

声明1:

“结合的否定是否定的分离”。或者我们可以将其定义为“2个变量的乘积的赞美等于单个变量的赞美的总和”。

(A.B)'= A'+ B'

声明2:

“分离的否定是否定的合取”。或者我们可以把它定义为,两个变量和的补和等于每个变量的补和的乘积。

(a + b)'= a'.b'

真理表

德摩根定律可以简单地用真值表来解释。

下面给出了De Morgan第一次语句的真相表((a.b)'='+ b')。

表2

因此,De Morgan的第一条律也可以表示为“不是(a和b)等于(不是a)或(不是b)”。

下面给出了De Morgan的第二个陈述的真相表((A + B)'= A'.B')。

表3

因此,De Morgan的第一条律也可以表示为“不是(a或b)等于(不是a)和(不是b)”。

盖茨的德摩根定理

可以通过使用基本逻辑门和门和门来证明De Morgan的定理。

对于声明1:(a.b)'= a'+ b'

aNAND门(输出侧带有NOT门的AND门)的输出等于OR门的输入端连接两个NOT门形成的门的输出。这可以说,

起泡或门

NAND门相当于反演后跟或门

对于声明2:(a + b)'= a'.b'

NOR门(输出侧带有NOT门的OR门)的输出等于与门的输入端连接两个NOT门形成的门的输出。这可以说,

或门=起泡和门

也不等于反演和门的门

让我们看一些例子来理解如何使用德摩根定理来简化布尔方程。

示例1:

使用De Morgan的定理简化以下布尔方程。

F =((a . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

索尔:

给定f =(((a.b¼)̅)。(b̅+ c))̅

=((((a .b̅)̅))̅+((b + c))̅

=(a .b̅)+(b̅̅.c̅)

=(a .b̅)+(B.C̅)

因此,给定等式的简化形式是f =(a .b̅)+(b.c̅)

例2.

对设计不好的逻辑电路进行简化,得到输出方程的简化布尔方程。

例子

索尔:

在给定电路中,输出方程是

F2 =((a + c)。((ab)̅))̅

=(a̅+ c)̅)+ (ab)̅̅

=((a̅+ c)̅)+ ab

= (a̅̅c̅)+ ab

=(ac̅)+(ab)

因此,给定电路ISF2 =(AC̅)+(AB)的简化输出。

共识定理

共识定理是布尔代数的重要定理,解决和简化布尔函数。

陈述

共识定理称,当职能术语互相互惠(例如A和A̅)时,定义了分离的共识期限。共识定理在两个陈述中定义(正常形式及其双重)。他们是

Ab + Āc + bc = Ab + Āc

(A + B)(+ c)(b + c)=(a + b)(Â+ c)

合并定理证明

表述一:AB+ĀC +BC = AB+ĀC

AB +āc+ BC = AB +āC+ BC.1

= AB + ĀC + BC (A + Ā)→since A + Ā = 1

= ab + Āc + ABC + Ābc

= AB(1 + C)+āc(1 + B)

= ab +Âc→自1 + b = 1 + c = 1

例子

利用一致定理,证明了A ' bd ' + BCD + ABC ' + AB ' d = BC ' d ' + AD + A ' BC

索尔:

A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D = A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D + A'BC + BC'D' + ABD

= AD + A'BD'+ BCD + ABC'+ A'BC + BC'D'

= AD + a ' bc + bc ' d

一致定理的对偶

双重协商法定理的声明是

(A + B)(B + C)(A'+ C)=(A + B)(A'+ C)

证明

第1步:减少方程的左侧

(A + B) (B + C) (' + C) = ((A + B) (B + C)) (' + C)

=(AB + AC + BB + BC)(A'+ C)

=(AB + AC + B + BC)(A'+ C)

=(AB + AC +(B + BC))(A'+ C)

= (ab + ac + b) (a ' + c)

=(B + AB + AC)(A'+ C)

=((b + ab)+ ac)(a'+ c)

= (b + ac) (a ' + c)

= A'B + BC + AA'C + ACC

= A'B + BC + 0 + AC

= A'B + BC + AC

第二步:缩小等式的右边

(a + b) (a ' + c) = aa ' + a ' b + ac + BC

=0 + a 'b + ac + BC

= a 'b + ac + BC

现在我们可以看到,R.H.S. = L.H.S.

由此证明了一致度定理的对偶性。

香农定理的扩张

知名理论家和数学家,Claude Shannon在研究布尔代数职能的简化之后提出了一些公式。这些被称为香农的扩展定理。这些用于扩展关于单个变量的布尔函数。亚博彩票下载

定理1:

F(A1,A2,A3,...。。。。AI,......。.An)= AI。f(a1,a2,a3,...。。。1,...... a)+a̅i。(A1,A2,A3,...。。。0,......)

例子:

f(a,b,c,d,e,f)= c。F(a,b,1,d,e,f)+ c̅。f(a,b,0,d,e,f)

定理2:

f (A1, A2, A3, . . . .艾,. . . .a) = [Ai + f (A1, A2, A3, . . . . . . .一个)。[A̅i + (A1, A2, A3, . . . . .1、…一个)

例子:

f(a,b,c,d,e,f)= [c + f(a,b,0,d,e,f)]。[c̅+ f(a,b,1,d,e,F)]

使用Shannon扩展定理简化布尔函数

练习1:

利用香农展开定理展开给定的布尔函数。

f(a,b,c,d)= a b +(c + b)d

已知函数是

(A, B, C, D) =A B̅+ (A C + B) D

=[1。B̅+(1。C) b) d) C) d)B̅+(0。答案:C

= a [b̅+ (c + b) d] + a̅[b d]

= A B + A(C + B)D + A̅Bd

练习2:

利用香农展开定理展开给定的布尔函数。

(A, B, C, D) = A̅

索尔:

给定函数是

(A, B, C, D) = A̅

= a[1̅.]C + (b + 1)[答案]DC + (b + 0)D) C)

= a[0。(2) C + (b + d) C + (b + d)C + (b + 0)D) C)

= a (b + d) c + a̅(c + bc)

香农的减少定理

利用Shannon的约简定理对单变量布尔函数进行约简。亚博彩票下载

定理1:

ai。f(a1,a2,a3,...。。。。ai,...。。。,a)= ai。F(A1,A2,A3,...。。。。1,......,AN)

ai + f(a1,a2,a3,...。。。。。。。。。。,a)= ai + f(a1,a2,a3,...。。。0,...。。。。

例子:

湾f(a,b,c,d,e,f)= b。F(A,1,C,D,E,F)

B + F(A,B,C,D,E,F)= B + F(A,0,C,D,E,F)

定理2:

(A_i)̅。f(A1, A2, A3, . . . .艾,. . . ., An) = (A_i)̅。f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

(A_i)̅+ f(A1, A2, A3, . . . .艾,. . . .= (A_i)̅+ f(A1, A2, A3, . . . .1、. . . .一个)

例子:

B̅。f (A, B, C, D, E, f) = B̅。f (A, 0, C, D, E, f)

B̅+ f(a,b,c,d,e,f)= b + f(a,1,c,d,e,f)

使用Shannon减少定理简化布尔函数

练习1:

利用香农约化定理展开给定的布尔函数。

A [A̅(B + C) + (A + D)] [B + C] + (A + D)]

已知函数是

A [A̅(B + C) + (A + D)] [B + C] + (A + D)]

=一个。[1'(B + C)+(1 + D)]

=一个。[0(b + c)+(1 + d)

=广告

练习2:

利用香农约化定理展开给定的布尔函数。

f(a,b,c,d)= a + a'b + a c'(b + c)(b + d)

已知函数是

f(a,b,c,d)= a + a'b + a c'(b + c)(b + d)

= A + 0'B + 0 C'(B + C)(B + D)

= A + 1。B.

= a + b

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