布尔逻辑 - SOP形式,POS形式

布尔函数表示

使用晶体管等开关装置的使用产生了一个特殊的布尔代数,称为切换代数。在切换代数中,所有变量都呈现为0和1的两个值之一。

在布尔代数中,0用于表示“打开”状态或“假”状态的逻辑门。类似地,1用于表示“关闭”状态或“真正”逻辑门状态。

布尔表达式是由变量,常量(0-false和1-true)和逻辑运算符组成的表达式,它导致真为或false。

布尔函数是Boolean表达式的代数形式。n变量的布尔函数由f(x1,x2,x3 ... .xn)表示。通过使用布尔定律和定理,我们可以简化数字电路的布尔函数。简要说明不同的代表布尔函数的方式如下所示。

  • 产品总和(SOP)形式
  • 产品和总和(POS)表格
  • 规范形式

有两种类型的规范形式:

  • 总和术语或典型的SOP
  • 产品 - 最大术语或规范POS

可以通过使用NAND Gates以及使用K-Map(Karnaugh Pap)方法来表示布尔函数。我们可以通过使用两个标准表格来标准化布尔表达式。

SOP形式 - 产品形式的总和

POS形式-和的乘积形式

布尔方程标准化将使实施,进化和简化更容易,更系统化。

Sum of Product (SOP) Form

产品总和(SOP)形式是简化逻辑门的布尔表达的方法(或形式)。在这种SOP形式的布尔函数表示中,变量由并(产品)操作,以形成产品项,所有这些产品术语都是(求和或添加)一起以获取最终功能。

可以通过使用布尔加法操作添加(或求和)两种或更多种产品术语来形成产品形式。这里通过使用和操作来定义产品术语,并且通过使用或操作来定义和术语。

产品形式的形式也称为除虫正常形式,因为产品术语在一起,并且分离操作是逻辑的或。产品形式也称为标准SOP。

SOP形式表示最适合在FPGA中使用它们(现场可编程门阵列)。

例子

AB + ABC + CDE

(ab)̅+ abc + cde̅

SOP表格可由

  • 为每个输入组合写一个和术语,它产生高输出。
  • 如果值为1,则编写输入变量,如果其值为0,则写入变量的补充。
  • 或获取输出功能的术语和术语。

例如:大多数函数的布尔表达式f = a'bc + ab'c + abc'+ abc

真值表:

真相表

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律,我们知道

([ABC + ABC)] + ABC)=(ABC + ABC)= ABC

现在函数f = a'bc + ab'c + abc'+ abc

= A'BC + AB'C + ABC'+([ABC + ABC)] + ABC)

=(abc + abc')+(abc + ab'c)+(abc + a'bc)

= AB(C + C')+ A(B + B')C +(A + A')BC

= AB + BC + AC。

总和(POS)形式的产品

Sums形式的乘积是简化逻辑门的布尔表达式的方法(或形式)。在此POS表单中,所有变量都是ORED,即写为uls以形成和条款。

所有这些求和项被和(乘)在一起得到和的乘积形式。这种形式与SOP形式完全相反。所以这也可以说是“SOP形式的对偶”。

这里,通过使用和操作来定义和术语,并且通过使用和操作来定义产品项。当两个或多个术语乘以布尔或操作时,所得到的输出表达式将以总和的形式或POS形式的形式。

和积形式也称为合取范式,因为求和项是和在一起的,合取运算是逻辑与的。和积形式也称为标准POS。

例子

(A + B)*(A + B + C)*(C + D)

(A + B)̅*(C + D + E̅)

POS表格可以通过

  • 为每个输入组合写一个或术语,它产生低输出。
  • 如果值为0,则编写输入变量,如果其值为1,则写入变量的补充。
  • 和获取输出功能的术语。

例如:多数函数f =(a + b + c)(a + b + c')(a + b'+ c)(a'+ b + c)的布尔表达式

前任

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律,我们知道

[(A + B + C)(A + B + C)](A + B + C)= [(A + B + C)](A + B + C)=(A + B + C)

现在的功能

f =(a + b)(b + c)(a + c)

=(A + B + C)(A + B + C')(A + B'+ C)(A'+ B + C)

= [(A + B + C)(A + B + C)](A + B + C)(A + B + C')(A + B'+ C)(A'+ B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C ‘)] [(A + B + C) (A’ + B + C)] [(A + B + C) (A + B’ + C)]

= [(a + b)+(c * c')] [(b + c)+(a * a')] [(a + c)+(b * b')]

= [(a + b)+ 0] [(b + c)+ 0] [(a + c)+ 0] =(a + b)(b + c)(a + c)

规范形式(标准SOP和POS形式)

表示作为Minterms或Max术语的乘积表示的任何布尔函数都在其“规范形式”中。

它主要涉及两个布尔术语“minterms”和“maxterms”。

当布尔表达式的SOP形式处于规范形式时,其每个产品项称为“Minterm”。因此,产品功能的规范形式的功能也称为“Minterm Canonical形式”或Minterms或标准规范SOP形式。

类似地,当布尔表达式的POS形式处于规范形式时,其总和项中的每一个都称为“maxterm”。因此,总和函数的规范形式的乘积也称为“Maxterm规范形式或总和或标准规范Pos形式”。

最小条目

中项定义为n个变量的积项,其中每个变量以其补项或非补项的形式出现一次。最小项记为mi,其中i在0≤i < 2范围内ⁿ。

如果将其值分配为0,则变量为抄写形式,如果其值分配给1,则变量是不合格的表单。

对于2变量(x和y)布尔函数,可能的minterms是:

x'y',x'y,xy'和xy。

对于3变量(x,y和z)布尔函数,可能的minterms是:

x'y'z',x'y'z,x'yz',x'yz,xy'z',xy'z,xyz'和xyz。

  • 1 - Minterms =函数f = 1的minterms。
  • 0 - minterms =函数f = 0的minterms。

任何布尔函数都可以表示为其1-分钟的总和(或)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=Σ(1分钟的索引列表)

例如:F(x,y,z)=σ(3,5,6,7)

该函数的倒数可以表示为其0-最小术语的总和(或)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=σ(0-min术语指标列表)

例如:f'(x,y,z)=σ(0,1,2,4)

产品表达式的规范形式的实例(最小术语规范形式):

i)z = xy + xz'

ii)f = xyz'+ x'yz + x'yz'+ xy'z + xyz

在标准SOP形式中,N个变量的最大可能的产品术语由2¾给出。因此,对于2个可变方程,产品术语是22 = 4。类似地,对于3个可变方程,产品术语为23 = 8。

最大术语

一个最大项定义为n个变量的乘积,在0≤i < 2范围内ⁿ。最大项记为Mi。在max term中,当赋值为1时,每个变量都是互补的,当赋值为0时,每个变量都是不互补的。

对于2变量(x和y)布尔函数,可能的最大条款是:

x + y,x + y',x'+ y和x'+ y'。

对于3变量(x,y和z)布尔函数,可能的maxterms是:

x + y + z, x + y + z’, x + y’ + z, x + y’ + z’, x’ + y + z, x’ + y + z’, x’ + y’ + z and x’ + y’ + z’.

  • 1 - 最大条款=函数f = 1的最大术语。
  • 0 - 最大条款=函数f = 0的最大术语。

任何布尔函数都可以表示为其0 - max项的乘积(AND)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=π(0-max项索引的列表)

例如:F(x,y,z)=π(0,1,2,4)

该功能的倒数可以表示为其1 - 最大术语的产品(和)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=π(1-max项索引的列表)

前:F'(x,y,z)=π(3,5,6,7)

总和表达式的规范形式的实例(最大术语规范形式):

一世。z =(x + y)(x + y')

II。f =(x'+ y + z')(x'+ y + z)(x'+ y'+ z')

在标准POS形式中,N个变量的最大可能总和术语由2¾给出。因此,对于2个可变方程,总和术语为22 = 4.同样,对于3个可变方程,但总和术语为23 = 8。

2N分钟术语和2N最大条款的表格

下表将让您了解均值的表示和最大条款的3个变量。亚博彩票下载

2N分钟术语和AMX术语的表格

规范形式的转换

我们可以代表其他规范形式的一个规范形成的等式。我们可以代表POS形式的SOP形式和SOP形式中的POS形式方程。要转换规范方程,我们在列出了从原始方程式中排除的等式的索引号后互换Σ和π符号。

关于布尔函数,需要记住的重要一点是,SOP和POS形式彼此是对偶亚博彩票下载的。转换标准形式的方程有两个步骤。他们是

步骤1:在等式中互换操作符号,σ和π。

第2步:使用De Morgan的二元性原理到布尔函数的索引号或写入不在给定形式的等式形式呈现的术语的索引。

将SOP形式转换为POS形式

要将SOP表单转换为POS形式,首先要将Σ更改为π,然后写出给定布尔函数的缺失变量的数字索引。

例子:

SOP功能

F =∑A, B, C (0,2, 3, 5, 7) = A ' B ' C ' + AB ' C ' + AB ' C + ABC ' + ABC

第1步:将操作标志更改为π

步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

001 =(a + b + c)100 =(a + b'+ c')110 =(a + b'+ c')

以POS形式的形式写下新的等式,

f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c)*(a + b'+ c')*(a + b'+ c')

将POS表转换为SOP表

要将POS格式转换为SOP形式,首先要将π更改为σ,然后写下给定布尔函数的缺失变量的数字索引。

例如:POS函数f =πa,b,c(2,3,5)= a b'c'+ a b'c + abc'是用sop形式写入的

第1步:将操作标志更改为Σ

步骤2:撰写术语的缺失索引,000,001,100,110和111.现在为这些指出的术语编写产品表格。

000 ='* * b'* c'001 = a'* b'* c 100 = a * b'* c'

a * b * c = a * b * c

以SOP形式的形式写下新的等式,

F = Σ A, B, C (0, 1, 4, 6, 7) = (A’ * B’ * C’) + (A’ * B’ * C) + (A * B’ * C’) + (A * B* C’) + (A * B * C)

将SOP形式转化为标准SOP形式或规范SOP形式

我们可以在SOP形式方程的每个产品项中包含所有变量,这通过转换成标准SOP形式没有所有变量。通过使用布尔代数法(A + A'= 1)和以下步骤,可以将正常的SOP形式功能转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每个非标准产品术语乘以其缺失变量及其补充的总和,这导致2个产品术语

第2步:

重复这一点步骤1,直到所有结果的产品项都包含所有变量

通过这两个步骤,我们可以将SOP功能转换为标准SOP功能。在此过程中,对于功能中的每个缺失变量,产品术语的数量将增加。

例子:

转换非标准SOP函数f = x y + x z + y z

溶胶:

f = x y + x z + y z

= x y(z + z')+ x(y + y')z +(x + x')y z

= x y z + x y z ' + x y z + x y ' z + x y z + x ' y z

= x y z + x y z'+ x y'z + x'z

标准SOP形式是f = x y z + x y z'+ x y'z + x'y z

将POS形式转换为标准POS形式或规范POS形式

我们可以把所有的变量包含在POS形式方程的每一个乘积项中,通过转换成标准的POS形式,这个方程没有所有的变量。通过使用布尔代数定律(A * A ' = 0),并遵循以下步骤,可以将常规POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过向其缺失变量及其补充的乘积添加每个非标准的术语,这会导致2和条款

第2步:

应用布尔代数法,A + BC =(A + B)*(A + C)

第3步:

通过重复步骤1,直到所有生成的和术语都包含所有变量

通过这三个步骤,我们可以将POS函数转换为标准POS函数。

例子:

f =(a'+ b + c)*(b'+ c + d')*(a + b'+ c'+ d)

在第一个术语中,变量d或d'缺失,因此我们将d * d'= 1添加到它。然后

(' + B + C + D * D ') = (A + B + C + D) * (' + B + C + D ')

同样,在第二个术语中,丢失变量A或'',因此我们将* a'= 1添加到它。然后

(B'+ C + D'+ A * A')=(A + B'+ C + D')*(A'+ B'+ C + D')

第三个术语已经处于标准形式,因为它具有所有变量。现在该功能的标准POS形式方程是

F = (A’ + B + C + D) * (A’ + B + C + D’) * (A + B’ + C + D’) * (A’ + B’ + C + D’) * (A + B’ + C’ + D)

14回应

    1. SOP和POS之间的差异是SOP是使用MIN术语或产品项表示布尔表达式的方式,而POS是使用MAX术语或SUM项表示布尔表达式的方式。

  1. 在SOP中,我们将(1)作为不合计和(0)作为补码和全形式的SOP是由(M)Minterm(A'.B.C')代表的产品和

    在POS中,我们将(0)作为不符合和(1)作为补充和全文
    POS是总和的乘积,其代表(m)maxterm(a'+ b'+ c)

  2. 采取SOP形式的补充或酒吧,然后应用布尔逻辑和De-Morgan的定理。

    (ab + bc) ' = [(ab) ' * (bc) ']
    = [(a'+ b')*(b'+ c')]
    (SOP)'= POS
    与类似的SOP =(POS)'一样
    它也可以用真值表来证明。
    a b ab(a'+ b')'
    0 0 0 0
    0 1 0 0
    1 0 0 0
    1 1 1 1

  3. 它的假
    例子:
    SOP功能

    F =∑A, B, C (0,2, 3, 5, 7) = A ' B ' C ' + AB ' C ' + AB ' C + ABC ' + ABC

    第1步:将操作标志更改为π

    步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

    001 =(a + b + c)100 =(a + b'+ c')110 =(a + b'+ c')

    以POS形式的形式写下新的等式,

    f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c)*(a + b'+ c')*(a + b'+ c')

  4. SOP功能

    F = ∑ A, B, C (0, 2, 3, 5, 7) = A’ B’ C’ + A’ B C’ + A’ B C + AB’C + ABC is written in POS form by corrected by gautam rai

    第1步:将操作标志更改为π

    步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

    001 =(a + b + c)100 =(a + b'+ c')110 =(a + b'+ c')

    以POS形式的形式写下新的等式,

    F =ΠA, B, C (1, 4, 6) = (A + B + C”)* (' + B + C) * (A + B + C)由gautam纠正

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