巴特沃斯滤波器

Butterworth滤波器是一种有源滤波器,其中跨越其通带的频率响应相对平坦。由于这种频率响应,Butterworth过滤器也称为最大扁平过滤器或平坦过滤器。

使用Butterworth滤波器技术,您可以设计所有类型的过滤器等。在本教程中,我们将专注于使用Butterworth滤波技术的低通滤波器设计。

有关典型低通滤波器的更多信息,无论是活动还是被动,都阅读这些教程:“亚博手机网无源低通RC滤波器“ 和 ”有源低通滤波器“。

介绍

在设计滤波器电路时主要有三个考虑因素

  • 通带的响应必须是最大平坦度。
  • 从通过带慢过渡到停止频段必须慢慢过渡。
  • 滤波器使信号在通带内不失真的能力。

这些畸变通常是由波形的相移引起的。除了这三个外,上升和下降时间参数也起着重要的作用。通过考虑这些因素,设计了一种滤波器。

为了获得最大的平坦响应,设计了巴特沃斯滤波器。针对从通带到阻带的缓慢过渡设计了切比雪夫滤波器,针对最大平坦时延设计了贝塞尔滤波器。

巴特沃斯滤波器

以牺牲从通带到阻止带过渡介质的陡度为代价,这种巴特沃斯滤波器将在输出信号中提供一个平坦的响应。因此,它也被称为最大平坦幅度滤波器。

滤波器的衰减响应率是由电路中使用的极点数决定的。极数将取决于电路中无功元件的数量,即电路中使用的电感或电容的数量。

NTH Order Butterworth滤波器的幅度响应如下:

V出去/ V= 1 /√{1 +(f / fc)2 n}

其中'n'是电路中的极点数。随着“N”的值增加了滤波器响应的平坦度也增加。

' f ' =电路的工作频率和' fc' =电路的中心频率或截止频率。

这些滤波器有预先确定的考虑,其应用主要是在较高频率的有源RC电路。尽管它不提供尖锐的截止响应,但它通常被认为是在许多应用中使用的全方位滤波器。

Butterworth近似值

如我们所知,满足过滤器响应的考虑,并且在理想过滤器附近具有近似我们需要具有更高的阶滤波器。这将增加复杂性。

我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的过滤器特性是最大的平坦度,最大通过带增益和最大停止带衰减。

设计滤波器需要适当的传递函数。为了满足这些传递函数的要求,在模拟滤波器设计中采用了许多近似函数。

在这种设计中,Butterworth滤波器是过滤器类型之一。低通巴特沃斯设计考虑主要用于许多功能。后来我们将讨论归一化的低通过Butterwo亚博彩票下载rth滤波器多项式。

第一顺序低通过Butterworth滤波器

下面的电路显示低通巴特沃斯滤波器。

图:一阶低通巴特沃思滤波器

所需的巴特沃斯滤波器的通带增益主要取决于电阻的值R1和Rf,滤波器的截止频率取决于上述电路中的R和C元件。

滤波器的增益为A_max=1+R1/Rf

电容器'C'的阻抗由-JX给出C通过电容的电压是,

Vc= - jXC/ (R - jX .C) *文。

式中,XC = 1 / (2πfc),电容电抗。

滤波器的极坐标传递函数为

H(jω) = |Vout/Vin|∟ø

其中滤波器v的增益出去/ V= A.最大限度/√{1 +(f / fH)²}

相位角Ø = - tan-1(f / fH)

在较低频率下意味着当工作频率低于截止频率时,通带增益等于最大增益。

V出去/ V= A.最大限度即常数。

在较高的频率是指当工作频率高于截止频率时,则增益小于最大增益。

V出去/ V最大限度

当工作频率等于截止频率时,传递函数等于AMAX /√2。增益的减少率为20dB /十年或6dB /八度,并且可以在响应斜率为-20dB /十年中表示。

二阶低通巴特沃思滤波器

连接到第一阶Butterworth滤波器的额外RC网络为我们提供了第二顺序低通滤波器。该二阶低通滤波器的优点是,在截止频率之后,在截止频段之后的增益折回非常快。

图二阶低通乳酪滤波器

在这个二阶滤波器中,截止频率的值取决于两个RC截面的电阻和电容的值。截止频率按下式计算。

fc= 1 /(2π√r2C2)

增益以40dB/decade的速率滚转,该响应的斜率为-40dB/decade。滤波器的传递函数为

V出去/ V= A.最大限度/√{1 +(f / fc)4}

给出了二阶滤波器传递函数的标准形式

V出去/ V= A.最大限度/秒2+ 2εωnS +ω.n2

其中ω.n=振荡的自然频率= 1 / R2C2

阻尼系数= (3 - A最大限度) / 2

对于二阶Butterworth滤波器,所需的中期术语是SQRT(2)= 1.414,来自归一化的Butterworth多项式是

3 - A.最大限度=√2= 1.414

为了保证输出滤波器的响应,必须将增益A最大限度是1.586。

通过级联第一和二阶巴特沃斯过滤器来获得更高阶的Butterworth过滤器。这可以如下所示:

图:高阶巴特沃斯滤波器一个n和B.n是预先确定的滤波器系数,这些滤波器系数用于生成所需的传输函数。

Butterworth滤波器的理想频率响应

输出响应的平坦度随着滤波器阶数的增加而增加。不同阶次的巴特沃思滤波器的增益和归一化响应如下所示。

图:Butterworth滤波器的理想频率响应

标准化低通过Butterworth滤波多项式

标准化是一种过程,其中电压,电流或阻抗除以相同的测量单位的数量。该过程用于制作无量纲范围或特定值的水平。

滤波器传递函数的分母多项式给出巴特沃斯多项式。如果我们考虑半径相等且圆心为原点的圆上的s平面,那么巴特沃斯滤波器的所有极点都位于s平面的左半部分。

对于任何订单过滤器,应始终为1,对于任何订单过滤器,始终始终为1.对于均匀的误差,所有多项式因素都是二次自然的。对于奇数,所有多项式除外,所有多项式都是二次之外,对于第一个订单,对于1个订单滤波器,多项式是1 + s。

如下所述的系数形式的Butterworth多项式表明。

n阶Butterworth滤波器的传递函数如下所示

h(jω)= 1 /√{1 +ε²(ω/ωc)2 n}

其中n是滤波器的阶数

ω是弧度频率,它等于2πf

ε是最大的通带增益,Amax

Butterworth低通滤波器示例

我们考虑截止频率为15.9 kHz,通带增益为1.5,电容C = 0.001µF的巴特沃斯低通滤波器。

fc= 1 /2πrc

15.9 * 10³= 1 / {2πr1 * 0.001 * 10-6}

R = 10 kΩ

一个最大限度= 1.5并假设R1为10kΩ

一个最大限度= 1 + {rf/ R1}

Rf= 5 kΩ

图:Butterworth低通滤波器示例

三阶巴特沃思低通滤波器

第一个订单和第二阶Butterworth滤波器的级联连接给出了第三阶Butterworth滤波器。第三阶Butterworth滤波器电路如下所示。

图:三阶Butterworth低通滤波器

对于第三阶低通滤波器,来自给定归一化低通过Butterworth多项式的多项式是(1 + S)(1 + S +S²)。该过滤器包含三个未知系数,它们是一个0一个1一个2

这些的系数值是a0= 1,1= 2和一个2= 2.与第一订单滤波器相比,该三阶Butterworth滤波器的曲线的平坦度增加。

应用程序

  • 由于其最大平坦通带性质,它被用作数据转换器应用中的抗混叠滤波器。
  • 它具有在雷达中的应用,例如设计雷达目标轨道的显示。
  • 在高质量的音频应用中使用这些。
  • 这些是用于运动分析的数字滤波器。

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