复数

从数学上讲,复数是实数和虚数的组合。相量用复数平面上的复数表示。

该复数表示表示正弦波的幅度和相位,我们可以分析电路的特性。正弦波形是时间的函数,并在时域中表示。

通常,Phasor变换方法用于求解与变换时间T的功能的波形相关的方程,以使弧度频率W的功能。

与作为部分微分方程的时域方程相比,频域方程是代数方程,其更容易解决,其比较域等式更容易解决。

因此,复数表示便于求解未知相量的代数方程。让我们来讨论复数及其处理技术。

复数

虚数是负数的平方根。虚数由虚构的单元或j运算符组成,这是√-1的符号。该J操作员用于简化虚数。考虑可以简化为√-1×√4=j√4= j2的√-4。

复数的处理比实数复杂,这就是为什么它们被称为复数的原因。复数由实部和虚部两部分组成,这两部分由正号或负号连接,如下所示。

例子:

复数形式

复数的虚部称为“虚数”。我们用英文字母“i”(小写字母)或“j”来表示它。我们发音为“i- operator”。在虚数前放置i运算符表示虚数部分。例:i3, i432, i6等。

复数用二维笛卡尔平面表示。这也叫做“S平面”。轴被称为“横轴”和“纵轴”。纵轴又称实轴,用y表示,表示正弦波的幅度或电压范围。

类似地,横轴称为“虚构轴”。它由X表示。它表示正弦波的时间段和相位差。在图形方法中,我们将复数号的真实和虚部的轴代表为Re(z)和IM(z),其中z是矩形形式的复数,z = a + 1b。

这里复杂数的真实部分也称为“活动部分”和虚部被称为“反应部分”。

复数的数学运算规则

  • 对于加减运算:虚数的加减运算,我们使用一般的数学规则作为实数,即两个虚数相加或相减,得到另一个虚数。例:i9 + i5 = i14。
  • 乘法:虚数的乘法遵循不同的规则。也就是说,如果任何两个想象的乘以,我们得到一个实数。前:i2 * i3 = 6。

注意:我们还可以通过将虚构部分的系数为“0”来将实数写为复数。

例:6可以写成复数6 + i0。

向量旋转的i-算子

通常,电压和电流和它们的相位关系由电矢量表示,其中载体的长度表示在相对于参考轴的方向上涉及的该数量的大小表示在正电压和电流的正最大值之间的时间间隔。

为了在其x和y组件方面指定这些向量,我运算符用于区分X轴和y轴投影。

这是因为y轴投影是+900从X轴投影。该I操作员旋转向量而不改变其幅度。因此,当+ i运算符被应用于向量的乘法因子时,它产生900逆时针旋转和-i运算符产生900作为乘因子应用的任何矢量的顺时针旋转。

矢量旋转

一个向量的+i运算符的连续乘法将产生连续的900沿逆时针方向旋转矢量的步骤,而不会影响该载体的大小。

类似地,-i运算符到向量的连续乘法将产生连续900顺时针方向旋转矢量的步骤如下所示。

i1 =√-1 = + i»旋转向量900(逆时针方向)

i2 = i * i =(√-1)2 = -1»旋转向量1800(逆时针方向)

I3 = i2 * I =(√-10(逆时针方向)

4 = +1 * 1旋转矢量3600(逆时针方向)

类似地,对于顺时针旋转表示为

-i1 = -√-1 = -i»旋转向量-900(顺时针)

-i2 = -1»旋转向量-1800(顺时针)

- (i) 3 =√-1 *旋转向量-2700(顺时针)

- (i)4 = 1»旋转矢量-3600(顺时针)

复数表示法

主要是,复杂的数字由两种方法表示,它们是

  1. 直角坐标或直角坐标
  2. 利用S -平面

用矩形表示复数

如前所述,复数号以矩形形式表示为z = a + ib。

其中,Z是复数

a是矢量的真实部分

B是向量的虚部

我是虚构部分的系数。它的价值是√-1。

例:如果Z = 2 + i3,那么' 2 '代表实部,' 3 '代表虚部。

使用复平面或s平面的复数

在S平面表示法中,复数用笛卡尔平面或S平面上的点表示。例如,Z = 2 + 4i,其中2是实部,4是虚部。用S平面表示,如下图所示。

S平面上的复数

这里复数(2)的实部用一条线表示,这条线在正的横轴上,距原点2个单位。虚部(4i)由一条从正垂直轴上的原点延伸4个单位的直线表示。

因此,总是假定虚数沿y轴或垂直轴绘制,实数沿x轴或水平轴绘制。

四象限阿根图

如果实际数字乘以-1,则会导致从原点的一侧移动到其他方面的点。假设如果+2乘以-1或j2,则新位置相当于180的旋转0从旧的位置。

该乘以j作为矢量旋转的这种概念是在交流电路中使用复数的基础。该概念导致称为表示复数的Argand图的图表。

在阿根图中,复数的实部在X轴上表示为Re (z),复数的虚部在Y轴上表示为Im (z),在笛卡尔平面中,复数定义为(a, b)。

在Argand图上,横轴表示垂直虚轴右侧的所有正实数,以及垂直虚构轴的左侧的所有负实数。正面假想数表示在原点上方,负虚数在原点上表示在原点,垂直轴上。

以相同的方式,所有正实数在原点的右侧表示,并且所有负数数字在原点的左侧表示在水平轴上。因此,形成具有4个坐标的复杂平面。

Argand图用于表示相量旋转,其中向量的长度等于复数的大小。它为每个2π/Ω秒完成完整循环。

00=±360.0= + 1 = 1∠00= 1 + i0

+ 900∠I = 1∠+900= 0 + i1

- 900= - √-1 = - i =1¼-900= 0 - I1

±1800=(√-1)2 = - 1 = 1÷±1800= - 1 + i0

实部为零的复数称为“纯虚数”。例:Z = 0 + i2。

具有零虚构部分的复数被称为“纯实数”。例如:z = 2 + i0。

角度和象限

00到90年0→第一个象限(i)。

900到180.0→第二象限(II)。

180.0到270年0第三象限(III)。

2700到360年0→第四象限(IV)。

我们可以求出相应的复数相角

TAN-1(虚部分量÷真实组件)

下面给出了所有4个象限中的复数的argand草图。

象限
argand图素描
信息
公式
1 一个是正的
b是积极的
论证是积极的
Ø= tan-1[b / a]
2 一个是负的
b是积极的
论证是积极的
Ø=π+棕褐色-1[b / a]
3. 一个是负的
b是负的
论点是消极的
Ø= -π+棕褐色-1[b / a]
4 一个是正的
b是积极的
论点是消极的
Ø= tan-1[b / a]

添加和减法复数

如果需要执行数学操作,如复杂数字的添加或减法,首先我们必须将复数号分成真实的部分和虚部。

对于两个复数的加法,将实部和虚部相加。

第一个复数为P = a + ib,第二个复数为Q = x + iy,则两个复数的和为

P + Q = (a + x) + i (b + y)

P + Q = (a - x) + i (b - y)

类似地,要减去两个复杂的数字,我们减去了实际部分并减去了虚部。
两个复数之差为

P + Q = (a - x) + i (b - y)

例子

求给定两个复数的和和和之差。A = 2 + i4, B = 4 +i3。

除了

p + q =(2 + i4)+(4 + i3)

= (2 + 4) + I (4 + 3)

= 6 + i7

减法

p + q =(2 + i4) - (4 + i3)

= (2 - 4) + I (4 - 3)

= -2 + i1

图形加法和减法

复数相加的方法与两个向量用向量的平行四边形相加的方法相同。下图用图解法说明了3 + 4i和-4 + 2i复数的加法方法。

两个复数的图形加法

图形方法中的(3 + 4i)的减法(3 + 4i)在图中示出了下面的图。

两个复数的图形减法

复杂数字的乘法和分割

复数和二项式相乘的方式是一样的记住,j2 = -1。
考虑两个复数(A + BI)和(C + DI),然后给出其乘法

x (c+di) = a (c+di) +bi (c+di)

= ac + adi + bci + bd i2

= ac + adi + bci + bd (-1)

= AC + ADI + BCI - BD

= (ac - bd) + (ad I + BC I)

=(ac -bd)+(ad + bc)i

假设两个复数分别为(2 + 3i)和(4 + 5i),则其乘法为

(2 + 3i)x(4 + 5i)= 2(4 + 5i)+ 3i(4 + 5i)

= 8 + 10i + 12i + 15i2

= 8 + 22i + 15(-1)

= 8 + 22i -15

= -7 + 22 I

分配

复数的除法与分母中含有根的二项式的除法相同。它涉及到求分母的共轭。

让我们看一下复杂数字的榜样。

例子

(4 + 2i) ÷ (3 - i)

(我)(4 + 2)/ ((3 - i)) = ((4 + 2)) / ((3 - i))×((3 + i)) / ((3 + i))

=(12 + 4i + 6i + 2i2) / (9 + 3 i-3i-i2

=(12 + 10i + 2(-1))/(9 - ( - 1))

=(10 + 10i)/ 10

=(1 + i)/ 1

= 1 + I

因此(4 + 2i) ÷ (3 - i) = 1 + i。

复共轭

复数的共轭复数是相同的数,只是虚部的符号改变了。倒转虚数的符号而得到的复数。

求共轭时实部的符号不变。共轭复数用符号z*表示。

例如,Z = 4 + I5的复杂缀合物是Z * = 4 - I5

复数和其缀合物将具有相同的幅度,并且它们在X轴上具有相同的水平位置,但它们在Argand图中完全相反的垂直位置。

共轭复数表示法

关于共轭需要记住的东西亚博彩票下载

  • 复数和其共轭的总和始终是实数(活动组件)。
    (4 + i5) + (4 - i5) = 8(实数)
  • 复数及其共轭的减法总是虚数(无功分量)。
    4 + i5 - (4 - i5) = 10i(虚数)
  • 通常,复杂的共轭数用于以矩形形式找到交流电的表观功率。

极坐标形式的复数

复数可以以极性和矩形形式表示。如上所述,复杂数量的矩形形式由实部和虚部组成。在极性形式的情况下,复数数用幅度和角度表示。z

一个∠±θ。这里A是矢量的大小θ是相位角。它可能是积极的,也可能是消极的。
复数的极坐标表示

以极性形式表示复杂数字使用三角形和毕达哥拉斯定理的基本三角概念来找到用轴制造的幅度和角度。

极性形式表示

复数x + iy在笛卡尔平面上的极坐标表示如上图所示。这里r是三角形的合力向量或对角线,由复数构成。

通过应用勾股定理,我们得到

Z2= x2 + y2

z =√(x2 + y2)

矢量分量可以写为,x = z cosθ和y = zsinθ。

实轴所构成的角度为

θ= tan-1Y/x.

极性形式表示复数的长度和角度。复数和其缀合物具有相同的幅度(模数),它们具有相反的角度。

前:复数5∠600及其共轭数5∠-600具有相同的大小。

复数的转换

在分析电子电路时,需要把复数从一种形式转换成另一种形式。在直角坐标系中,我们分别在实轴(横轴)和虚轴(纵轴)上表示复数的实部和虚部。

在极坐标形式下,复数简单表示为A∠θ。现在我们来学习极坐标形式和直角坐标形式亚博彩票下载的关系和转换,反之亦然。

极坐标形式到矩形形式的转换(P→R)

偏斜矩形形式的转换涉及找到三角性水平和垂直分量,以便获得X + IY(矩形形式)的真实和虚部。

考虑下面的例子来转换复数4的∠30的极坐标形式0以矩形形式。
向量组件等于复数x + IY的实数和虚部。所以,

x = acos θ y = asin θ

让4∠300= x + iy

4∠300= (4cos θ) + I (4sin θ)

= (4 cos300+ I (4sin300

= (4 x 0.866) + I (4 x 0.5)

= 3.464 + i2

因此,复数的极性形式为4∠300等于z = 3.464 + i2。

矩形形式到极坐标形式的转换(R→P)

矩形到极性形式的转换涉及使用Pythagoras的直角三角形定理,由复杂数x + Iy与水平和垂直轴线形成在坐标平面中。

考虑将复数3.464 + i2的直角形式转换为极坐标形式的等价数的例子。

让(3.464 + i2)= a∠θ

这里a =√(3.462+ 22)= 3.99(约4)

和θ=棕褐色(-1)2⁄3.46 = 300

因此,矩形的复数Z = 3.464 + i2 = 4,∠300在极坐标形式。

极性形式乘法

求复数的加减法最简单的方法是直角形式,求复数的乘法和除法最简单的方法是极坐标形式。

为了执行极性形成的复数的乘法,首先乘以它们的大小,然后加入它们的角度。

如果Z1和Z2是(极性形式)的两个复数,则为Z1 = A1≠θ1和Z2 =A2∠θ2。然后将这两个数字的乘法是

z1 x z2 =(a1 x a2)∠θ1+∠θ2

例如:假设两个复杂数字2∠600和5∠450,然后给予其乘法

∠Z1 = 2∠600和z2 = 5∠450

∠Z1 x Z2 = (A1 x A2)∠θ1 +∠θ2

= (2 x 5)∠600+ 450

= 10∠1050

极性形式部门

要对极数进行除法运算,首先要对两个极数的模进行除法,然后减去角度。

(Z1)/ Z2 =(A1 / A2)∠θ1 - ∠θ2

假设两个复数是2∠600和4∠300然后它的划分是如此

∠Z1 = 2∠600Z2 = 4∠300

(Z1)/ Z2 =(A1 / A2)∠θ1 - ∠θ2

=(2 /4)∠600——∠300

∠0.50

使用指数形式的复数

复数除了用直角形式(a + ib)或极坐标形式(a∠±θ)表示外,还有一种表示复数的方法,即指数形式。

这类似于极坐标形式表示法,它涉及到用其幅度和相位角来表示复数,但以指数函数e为底,其中e = 2.718 281。复数的指数形式使用欧拉公式e我θ= cos θ + jsin θ。

以指数形式的复数号的一般代表表示为

Z = e0我θ

θ在弧度中的位置

这种方法将复数表示为笛卡尔平面上的一个旋转点。这种指数形式使用了复数x + iy的三角函数或矢量分量(正弦和余弦)。根据欧拉恒等式的笛卡尔平面旋转相量图如下图所示。

通过欧拉的身份进行相位图

我们可以用欧拉法表示任何复数。欧拉恒等式允许我们把复数从指数形式转换成极坐标形式和矩形形式。

极坐标形式、矩形形式和指数形式之间的关系如下所示。

因此,当Z = x + iy时,∠θ= A (cos θ+isinθ)

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