叠加定理

介绍

在分析由两个或两个以上独立源(电压或电流或两者)组成的线性电路时，叠加定理被极其广泛地应用(特别是对于具有不同频率元件的时域电路)。如果一个线性直流电路有多个独立的电源，我们可以用节点或网格分析法找到电流(通过电阻)和电压(通过电阻)。

或者，我们可以使用叠加定理，将每个单独的源效应加到待确定变量的值上。这意味着叠加定理分别考虑给定电路中的每个源，以求得变量(无论是电流还是电压)的值，最后通过将每个源效应引起的所有变量相加得到合成变量。虽然过程复杂，但仍可适用于任何线性电路。

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叠加定理的声明

叠加定理指出，在任何由两个或多个独立源组成的线性双边网络中，元件上的电流(或电压)是元件上各独立电源所产生的电流(电压)的代数和，所有其他电源单独作用，并被它们的内阻所取代。我们知道，只要源和贡献之间存在线性关系，同时作用的各种源的总贡献等于一次作用的单个源的单个贡献的代数和。

因此，如果电路由N个独立的源组成，我们必须分析N个电路，每一个都会产生一个相对于每个源的结果。最后将这些单独的结果相加，得到整个电路的分析。因此，这需要更多的工作，然而，这个定理将是非常有用的分析一个复杂的电路的各个部分。

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分析叠加定理的步骤

1.考虑给定电路中的各种独立电源。

2.选择并保留其中一个独立电源，用其内阻替代所有其他电源，或者用开路替代电流源，用短路替代电压源。

3.为了避免混淆，请适当地重新标记电压和电流符号。

4.使用各种电路还原技术找出单个电源单独作用时所需的电压/电流。

5.对给定电路中的每个独立电源重复步骤2到4。

6.将从每个单独的电源获得的所有电压/电流进行代数相加(在相加时考虑电压符号和电流方向)。

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例子:

1.让我们考虑下面简单的直流电路来应用叠加定理，这样我们将得到跨越电阻10欧姆(负载终端)的电压。考虑在给定电路中有两个独立的电压源和电流源，如图所示。

2.首先，我们每次保留一个电源，这意味着只有电压源在电路中起作用，而电流源被内阻(无穷大)取代，因此如图所示，它变成开路。

考虑V_L1跨负载端子的电压与电压源单独作用，那么

V_L1= Vs × R_l/ (R_l+ R₁)

= 20 × 10 / (10 + 20)

= 6。66伏

3.仅保留电流源，用电压源的内阻(零)替换电压源，使其如图所示发生短路。

考虑到V_L2是电流源单独作用时跨负载端子的电压。然后
V_L2=我_l×R_l

我_l= I × r₁/ (R₁+ R_l)

= 1 × 20 / (20 +30)
= 0.4安培

V_L2= 0.4 × 10

= 4伏

因此，根据叠加定理，负载两端的电压为V的和_L1和V_L2

V_l= V_L1+ V_L2

= 6.66 + 4

= 10.66伏

示例2:

考虑下面的电路，我们将使用叠加定理来确定通过4欧姆电阻的电流I。

假设I1、I2、I3分别为12v、20V、4A源产生的电流。然后，基于叠加定理I = I1 + I2 + I3。我们来确定每个源的电流。

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仅使用12V电压源:

考虑下面的电路，电路中只保留12V电源，其他电源用它们的内阻代替。

将6欧姆和10欧姆的电阻结合，得到与6欧姆并联的16欧姆的电阻。由此得到，16 × 6 /(16 + 6) = 4.36欧姆。因此等效电路如图所示。

然后通过4欧姆电阻的电流，

我₁= 12 / 8.36

= 1.43

只有20v电压源:

仅保留20v电压源，用其内阻替换其他电源，电路如下图所示。

对回路a进行网格分析，得到

我22 ia - 6_b+ 20 = 0

我22 ia - 6_b= -20 ...................( 1)

对于循环b，我们得到

10我_b- 6Ia = 0

Ia = 10我_b/ 6

把Ib代入方程1

22 (10_b/ 6) - 6我_b= -20

我_b= - 0.65

因此,我₂= Ib = -0.65

只有4A电流源

考虑下面的电路，其中只有电流源被保留，其他源被替换为它们的内阻。

在节点2处应用节点分析得到:

4 = (V₂/ 10) + (V₂- - - - - - V₁) / 6 ....................( 2)

在node1,

(V₁/ 6) + (V₁/ 4) = (V₂- - - - - - V₁) / 6

V₂= 3.496 V₁

把V2代入方程2，我们得到

V₁= 0.766伏特。

所以我_3.= V₁/ 4

= 0.766 / 4

= 0.19安培。

因此，根据叠加定理，I = I₁+我₂+我_3.

= 1.43 - 0.65 + 0.19

= 0.97安培。

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使用交流电路的叠加例子:

考虑下面的交流电路，我们将使用叠加定理来确定4欧姆电阻中的电流值。

案例1:仅与20∠0电压源

通过将电压源单独保留在电路中，通过电路的电流确定为

I1 = 20∠0/ (4 + j4)

= 20∠0 /(5.65∠45)

= 3.53∠- 45或2.49∠- 2.49 A

案例2:只有4∠90的电流源

将电流源单独保留在电路中，则通过电路的电流I2确定为

用电流除法计算，I2 = 4∠90 × 4j/ (4 + j4)

= 4∠90 × 4∠90(5.5∠45)

= 4∠90 × 0.707∠45

= 2.828∠135或-1.99 + j1.99 A

通过电阻4欧姆的合成电流为I = I1 + I2

= 3.53∠- 45 + 2.828∠135

∠45 = 0.56 + j0.56 A

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叠加定理的局限性

1.对于功率计算，不能使用叠加定理，因为该定理是基于线性的。因为功率方程不是线性的因为它是电压和电流的乘积或者是电流的平方或者是电压的平方。因此，用叠加定理计算给定电路中元件所消耗的功率是不可能的。

2.如果负载的选择是可变的或负载电阻经常变化，那么就需要对负载电阻的每一个变化执行电流或电压的每一个源贡献及其总和。这个分析复杂电路的复杂程序。

3.这个定理只适用于线性电路，而对于非线性电路(有晶体管和二极管)则不能适用。

4.这个定理只有在电路有多个电源时才适用。

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